1、数列的概念数列中的每一个数叫做数列的项第n项叫做数列的通项。子列从数列中选取无穷多项保持原来的先后顺序等差数列等比数列单调数列有界数列一些常见数列前n项的和一个重要数列的结论①单调递增②2、数列极限的定义设为一数列若存在常数a对于任意的给定的正数 ε0总存在正整数 N使得当 nN 时不等式恒成立则称常数 a是数列的极限或称数列收敛于 a记作如果不存在这样的常数 a则称数列发散。定理1数列收敛子数列也收敛若数列收敛则其任何子列也收敛且推论①②推不出因为缺失此定理为我们提供了一个判断数列发散的方法对于一个数列如果能找到一个发散的子列则原数列一定发散如果能够找到至少两个收敛的子列和但它们收敛到不同极限则原数列也一定发散。例题2.2原数列的极限存在绝对值数列的极限也存在证明若则注①此命题反过来不对如取则但不存在②在本题中若则即有③此结论对函数亦成立即若则而反之不成立但3、收敛数列的性质①唯一性给出数列极限存在若存在则a是唯一的。②有界性若数列极限存在则数列有界③保号性设则存在当时有。若数列从某项起有且则其中为任意实数。常考的情形4、数列极限四则运算法则设则①②③若则5、海涅定理归结原则核心思想数列极限与函数极限的相互转换在有的题目中计算数列极限是及其困难的这个时候我们就可以使用海涅定理将原来的数列极限转化成函数极限转换成函数极限后有很多工具可以使用比如洛必达法则、泰勒公式、等价无穷小代换等计算出狙神极限后根据海涅定理就可以得出数列极限的值这是极限计算中一个非常重要的考点设在内有定义则存在对任何内以为极限的数列极限存在。注在极限存在的条件下函数极限和数列极限可以相互转化可能没听过这个名字但是我们在不知不觉中已经使用它了①当时取即若则②当时取即若则③当且时若则例题2.7用离散的数列推连续的函数证明当时是无界量但不是无穷大量这里是趋于无穷的但是是在-1,1之间震荡的代数证明使用海涅定理尝试说明有两个数列极限的值不等从而推出函数极限不存在若取则于是若取则根据归结原则原函数极限不存在是无界量但不是无穷大量6、夹逼准则如果数列及满足下列条件①从某项起即存在当时②则的极限存在且注放缩的常用方法如下1利用简单的放大与缩小当时2利用重要不等式①设a,b为实数则②③则④当时⑤当时⑥3利用闭区间上连续函数必有最大值与最小值4利用压缩映射原理原理一对于数列若存在常数使得则收敛于证明由于根据夹逼准则有即收敛于原理二对数列若可导是的唯一解且对任意有则收敛于证明根据拉格朗日中值定理其中介于与之间由原理一有收敛于。7、单调有界准则单调有界数列必有极限即若数列单调增加减少且有上界则存在。证明数列单调的常用方法①或②数学归纳法③利用重要不等式④利用单调性定义与同号则单调⑤利用结论对区间若区间则数列单调且当时数列单调增加当时数列单调减少。若区间则数列不单调例题2.13例题2.158、收敛于a的速度问题设数列在的过程中同时趋于a记且当时都是无穷小量则有若则说明的收敛速度比的收敛速度快若则说明的收敛速度是的倍若则说明的收敛速度比的收敛速度慢例题2.17例题2.18