傅里叶变换的时移特性

简 介本文通过例题分析了傅里叶变换时移特性的应用。当单个矩形脉冲信号通过时移叠加成三个脉冲时其频谱由连续Sinc函数变为波动形式。进一步以Sinc信号为例发现随着信号叠加数量的增加频谱会逐渐从连续方波变为离散冲激谱。特别地当Sinc信号周期延拓间隔在2-4之间时叠加后形成余弦信号当间隔小于2时则形成直流信号。这些现象为理解周期信号频谱特性提供了直观基础展示了信号时域延拓与频域离散化之间的对应关系。关键词信号与系统分析时移特性Sinc信号SInc信号周期延拓01【时移特性】一、例题对于傅里叶变换的时移特性 这里给出了一个课本上的例题求三个矩形脉冲信号的频谱。 直接利用时移特性可以在原来单个矩形脉冲信号频谱的基础上得到三个脉冲信号频谱。 可以看到 三个信号叠加之后 对应的信号频谱由原来的 Sinc 频谱的基础上变得波动起来。 实际上随着信号的增加 可以看到频谱也逐步从原来的连续频谱变成了离散的冲激频谱。 从这里可以为后面讲解周期信号的频谱打下基础。 为了更好的说明这个问题 下面将信号从矩形脉冲信号修改为 Sinc 信号。 Sinc 信号 也被称为采样信号。 它对应的频谱是矩形。 下面查看多个 Sinc 信号叠加之后对应的频谱的变化。二、三个采样信号我们考察对于Sinc信号也就是采样信号 他与他的延迟随着叠加的信号的增加对应频谱的变化。 现在显示的上面是 Sinc 的信号下面是它对应的方波频谱。 将三个 Sinc 信号叠加在一起 它们之间间隔相差4。 下面是对应的叠加后信号的频谱。 可以看到频谱由原来的方波频谱 变成了一段变化了频谱 也就是频谱的能量分布从原来的方波变成了带有起伏的 Cosine 信号的形状。▲ 图2.1 使用sinc函数与它的频谱▲ 图2.2 3个sinc函数与它的频谱上面的波形是三个 Sinc 信号叠加之后的波形 下面讨论一下如果继续增加 Sinc 信号 随着信号的增加 让我们查看一下对应的频谱的变化。 通过观察可以看到 随着 Sinc 信号的增加 对应的频谱会变得更加的集中。 可以猜测 当Sinc 信号个数趋向于无穷 变成周期信号的时候 对应的频谱就会趋向于离散频谱了。▲ 图1.2.3 增加的SINC函数与频谱改变 Sinc 信号周期延拓的时间间隔。 将周期延拓的时间间隔修改为2。 可以看到叠加之后的信号波形变成 Cosine 信号波形 还叠加了一个 0.5 的直流分量。 对应的频谱只剩下三个冲激分量。 如果将周期延拓的时间间隔修改为 3 叠加之后的之后的信号还是 Cosine 信号波形。 只是对应的 Cosine波形幅度增加了一些。 对应的频谱还是三个冲激频谱分量。 如果将周期延拓的时间间隔修改为 1.5。 此时对应的叠加之后的信号就变成了一个直流分量 对应的频谱只剩下一个直流冲激频谱。 将周期延拓时间修改为 3.8 小于 4 叠加之后的信号还是 Cosine 信号波形 对应三个冲激频谱分量。 将周期延拓时间修改为 1.8小于2 叠加之后的信号依然是 直流分量 对应的是一个直流冲激频谱分量。 看大家是否看出了其中的规律了▲ 图1.2.4 如果sinc函数相隔2对应的波形极限fromheadmimport*deffwin(begin,stop,tt[]):globaltiflen(tt)0:tttreturnheaviside(tt-begin,0.5)-heaviside(tt-stop,0.5)tlinspace(-20,20,2000)sintsinc(t)omegalinspace(-10,10,20000)Fofwin(-pi,pi,omega)A1t01.8foriinrange(50):sint1sinc(t-t0*(i1))sint2sinc(tt0*(i1))sintsintsint1sint2 AA2*cos(t0*(i1)*omega)Fo3Fo*A plt.clf()plt.subplot(2,1,1)plt.plot(t,sintsint1sint2,lw5)plt.axis([min(t),max(t),-0.5,2])plt.xlabel(t,colorsteelblue,fontsize24)plt.ylabel(sinc(t),colorsteelblue,fontsize24)plt.title(Number:%d%(1i*2),fontsize24)plt.grid(True,whichboth,linestyle--,alpha0.7)plt.tight_layout()plt.subplot(2,1,2)plt.plot(omega,Fo,lw1)plt.plot(omega,Fo3,lw3)plt.xlabel(Omega,colorsteelblue,fontsize24)plt.ylabel(F(omega),colorsteelblue,fontsize24)plt.grid(True,whichboth,linestyle--,alpha0.7)plt.tight_layout()plt.draw()plt.pause(.1)pltgif.append(plt)pltgif.save(period250)▲ 图1.2.5 周期延拓时间为3对应的叠加之后的波形以及对应的频谱▲ 图1.2.6 周期延拓时间为1.5 对应的叠加之后的波形以及对应的频谱※总结 ※本文讨论了傅里叶变换的时移特性。 当信号周期延拓形成周期信号的时候 它的频谱也变成了离散频谱。 对于 Sinc 信号 当延拓的周期在 2 到 4 之间 最终的信号变成了 Cosine信号波形 如果延拓的周期小于2 最终叠加的结果就形成了直流信号。 注意这里的Sinc 信号的定义 是按照 Matlab 中的定义方式。 比起传统的Sinc函数多了一个 Pi 尺度因子。● 相关图表链接:图2.1 使用sinc函数与它的频谱图2.2 3个sinc函数与它的频谱图1.2.3 增加的SINC函数与频谱图1.2.4 如果sinc函数相隔2对应的波形极限图1.2.5 周期延拓时间为3对应的叠加之后的波形以及对应的频谱图1.2.6 周期延拓时间为1.5 对应的叠加之后的波形以及对应的频谱